어떤 평평한 모양이든 살펴보세요. 토스트 한 조각, 깔개, 축구장처럼요. 이제 그것에 대해 물을 수 있는 가장 이상한 질문을 해 보세요. 안에는 공간이 얼마나 있을까? 얼마나 긴지가 아니에요. 얼마나 높은지도 아니에요. 평평함을 얼마나 품고 있는지예요. 그것이 바로 넓이이고, 넓이를 재는 모든 비결은 작고 소박한 영웅 하나에서 시작돼요.

영웅을 소개할게요. 모든 변이 정확히 한 단위인 아주 작은 정사각형이에요. 1센티미터, 1미터, 타일 하나. 크기를 하나 고르고 끝까지 그대로 쓰세요. 넓이는 그저 세어 보는 놀이예요. 우리는 이렇게 묻지요. “이 작은 정사각형들을 빈틈도 겹침도 없이 도형 안에 평평하게 몇 개나 놓을 수 있을까?” 그 수가, 아무 야단법석 없이, 바로 넓이예요.

직사각형은 가장 쉬운 놀이터예요. 가로로 정사각형 4개, 세로로 정사각형 3개라고 해 봐요. 열두 개를 하나씩 놓고 셀 수도 있지만, 금방 규칙을 알아차릴 거예요. 세 줄에, 한 줄마다 네 개씩. 그래서 그냥 곱하면 돼요. 길이 곱하기 너비. 넓이 해결, 땀 한 방울 흘리지 않고요.

하지만 도형들이 늘 그렇게 얌전한 건 아니에요. 삼각형은 어떨까요? 여기 멋진 비밀이 있어요. 삼각형은 모서리에서 모서리로 잘린 직사각형의 절반일 뿐이에요. 그러니 밑변에 높이를 곱하고, 그 답을 반으로 나누세요. 직사각형도 절반, 정사각형들도 절반. 삼각형은 처음부터 직사각형 안에 숨어 있었던 거예요.

이제 말썽꾸러기가 나타났어요. 바로 원이에요. 원은 온통 곡선이고, 곡선은 정사각형 타일을 싫어해요. 원 안에 정사각형을 놓아 보면 가장자리에 슬프고 울퉁불퉁한 계단 모양이 생기고, 빈틈이 여기저기 남아요. 작은 정사각형들은 곡선을 꼭 껴안을 수 없거든요. 그래서 수학자들은 대신 _살짝 영리한 방법_을 써 보았어요.

원을 피자처럼 얇은 조각들로 잘라 보세요. 이제 그 조각들을 나란히 놓아요. 뾰족한 쪽은 위로, 다음은 아래로, 위로, 아래로. 그러면 마법 같은 일이 일어나요. 울퉁불퉁한 조각들이 거의 직사각형처럼 보이는 모양으로 줄을 맞추거든요. 더 얇게 자를수록 점점 더 직사각형 같아져요.

그리고 우리는 이미 직사각형을 정복했지요! 이 가짜 직사각형의 높이는 원의 반지름, 즉 가운데에서 가장자리까지의 거리예요. 길이는 원 둘레의 절반이에요. 이 둘을 곱하면 유명한 공식이 톡 튀어나와요. 파이 곱하기 반지름의 제곱. 원은 우리가 아는 모양으로 바꾸는 순간 더 이상 무섭지 않게 되었어요.

이것이 모든 넓이 뒤에 숨어 있는 커다란 비결이에요. 모양이 너무 이상하면, 이미 알고 있는 모양들로 잘라 보세요. 정사각형, 삼각형, 직사각형으로요. 그 작은 넓이들을 모두 더하면, 불가능해 보이던 것도 잴 수 있어요. 타일을 깔고, 조각내고, 모두 더하세요. 아무리 제멋대로인 덩어리도 작고 단순한 조각이 충분하면 항복한답니다.

그러니 넓이는 마법의 공식에 관한 것이 아니었어요. 세상의 모든 평평한 것에게 참을성 있게 던지는 한 가지 질문이었지요. 작은 정사각형이 안에 몇 개나 들어갈까? 토스트도, 깔개도, 축구장도 모두 같은 작은 영웅을 서로 다른 만큼 품고 있을 뿐이에요.