구불구불한 산길을 차로 올라간다고 상상해 보세요. 어떤 때는 아주 느릿느릿 가고, 어떤 때는 쌩쌩 달려요. 미분은 사실 아주 간단한 질문에 붙은 멋진 이름일 뿐이에요. 바로 지금, 이 순간, 얼마나 빠르게 변하고 있을까? 여행 전체가 아니라, 바로 여기에서요. 그게 전부예요. 나머지는 모두 그 숫자를 찾아내는 똑똑한 방법들이랍니다.

먼저 여러분이 이미 아는 것부터 시작해 볼게요. 바로 속도예요. 한 시간에 60마일을 달리면, 평균 속도는 시속 60마일이에요. 쉽죠. 간 거리를 시간으로 나눈 거예요. 그건 '위치의 변화'를 '시간의 변화'로 나눈 것이지요. 미분도 기본적으로 같은 방법이에요. 다만 아주아주 가까이 확대해서 보는 거예요.

하지만 문제가 있어요. '시속 60마일'은 한 시간 전체의 평균이에요. 가속 페달을 밟은 바로 그 순간이나, 사슴을 보고 브레이크를 밟은 순간에 대해서는 아무것도 말해 주지 않아요. 실제 속도는 그 시간 내내 이리저리 흔들리며 달라졌거든요. 그렇다면 길이가 전혀 없는 한순간의 속도는 어떻게 잴 수 있을까요?

비밀을 풀어 주는 방법은 바로 이것이에요. 한 시간 전체를 재는 대신, 더 작은 시간 창으로 재는 거예요. 1분 동안 얼마나 갔을까요? 이제 1초 동안은요? 이제 0.5초 동안은요? 그 창이 0에 가까워질수록, 그 아주 작은 창에서의 평균 속도는 그 순간의 진짜 속도에 점점 더 가까워져요.

창을 줄여 갈 때 어떤 숫자에 슬그머니 가까워지는지를 부르는 말이 있어요. 바로 극한이에요. 미분은 시간 창이 아무것도 아닌 것처럼 작아질 때 평균 속도가 가까워지는 극한이에요. 정확히 0인 창을 쓰지는 않아요. 0으로 나눌 수는 없으니까요! 그저 답이 어떤 값으로 향하는지 보고, 그 값을 잡아내는 거예요.

이제 그림으로 그려 볼게요. 그래프를 떠올려 보세요. 여러분의 전체 여행을 나타내는 울퉁불퉁한 선이 있고, 시간은 오른쪽으로 갈수록 흐르고, 거리는 위로 올라가요. 그 선 위에서 한 점을 고르세요. 곧은 막대를 놓아 그 점에서 곡선에 살짝 입 맞추듯 닿게 하고, 기울기도 똑같이 맞춰요. 그 입 맞추는 막대를 접선이라고 불러요. 그리고 그 가파름이 바로 그 점에서의 미분이에요.

그러니까 비밀은 가파름이에요. 곡선이 가파르게 올라가는 곳에서는 미분이 큰 숫자예요. 무언가가 빠르게 변하고 있다는 뜻이지요. 곡선이 거의 평평한 곳에서는 미분이 작아요. 거의 변하지 않는다는 뜻이에요. 그리고 언덕 꼭대기, 내려가기 전에 곡선이 잠시 평평해지는 바로 그곳에서는요? 접선이 완전히 평평하니까, 미분은 정확히 0이에요.

미분은 자동차에만 쓰이는 게 아니에요. 변하는 것이라면 무엇이든 미분을 가질 수 있어요. 식물이 얼마나 빨리 자라는지. 코코아 한 잔이 얼마나 빨리 식는지. 롤러코스터가 얼마나 가파르게 떨어지는지. 모두 '그것이 얼마나 변했는가'를 '얼마나 시간이 지났는가'로 나눈 다음, 한순간까지 꼭 짜내어 보는 거예요.

그러니까 미분은 이런 거예요. 변하는 모든 것 안에 들어 있는 속도계. 어지럽고 구불구불한 이야기를 매 순간 또렷한 질문 하나로 바꾸어 답해 줘요. '지금, 얼마나 빠르게?' 평평하면 느려요. 가파르면 빨라요. 언덕 꼭대기에서는 0이에요.