어떤 수학 계산들은 숫자를 크게 만드는 걸 좋아해요. 제곱도 그중 하나예요. 어떤 수를 골라 그 수 자신과 곱하면, 풍선처럼 부풀어 오르는 걸 볼 수 있지요. 5는 25가 돼요. 제곱은 수학 세상의 자랑쟁이랍니다.

그런데 왜 ‘제곱’일까요? 완벽한 정사각형 정원 한 칸을 만든다고 상상해 보세요. 가로로 타일 3개, 세로로 타일 3개예요. 타일을 세어 보세요. 모두 9개지요. 한 변은 3이고, 정사각형 전체는 3 곱하기 3, 즉 9예요. 그래서 어떤 수를 자기 자신과 곱하는 것을 제곱이라고 불러요. 정사각형을 채우고 있으니까요.

그래서 제곱은 이렇게 물어요. “내 정사각형이 이만큼 넓다면, 안을 채우는 타일은 몇 개일까?” 제곱근은 그 질문을 뒤집어요. 이렇게 묻지요. “내 정사각형에 타일이 모두 이만큼 있다면, 한 변의 길이는 얼마일까?” 같은 정사각형이지만, 반대 방향이에요.

야생에서 근을 하나 잡아 볼까요. 25의 제곱근은 자기 자신과 곱했을 때 25가 되는 수예요. 한번 찾아봐요. 4 곱하기 4는 16, 너무 작아요. 6 곱하기 6은 36, 너무 커요. 5 곱하기 5는 25, 딱 맞아요. 그래서 25의 제곱근은 5예요.

재미있는 점은 바로 이거예요. 제곱과 제곱근 구하기는 신발끈을 묶고 푸는 것처럼 짝을 이루어요. 하나가 한 일을 다른 하나가 되돌려 주지요. 5를 제곱해 25를 만들고, 다시 25의 근을 구하면 5로 돌아와요. 처음 시작한 바로 그 자리에요.

꼬리가 달린 작은 체크 표시, √, 바로 그게 되돌리는 일을 하는 도구예요. 친절한 기계라고 생각해 보세요. 위쪽에 숫자를 넣으면, 그 숫자가 만드는 정사각형의 한 변 길이가 나와요. 49를 넣으면, 단정한 7이 걸어 나온답니다.

하지만 여기 작은 주름 같은 문제가 있어요. 대부분의 숫자는 딱 떨어지지 않거든요. 2의 제곱근은 깔끔한 정수가 아니에요. 약 1.414이고, 숫자들이 반복되지 않고 끝없이 이어져요. 그렇다고 고장 난 건 아니에요. 그저 어떤 한 변의 길이는 가지런한 타일 눈금 위에 딱 내려앉기를 거부한다는 뜻이지요.

그리고 한 가지 반전이 더 있어요. 숨어 있는 두 번째 답이 있거든요. 음수 곱하기 음수도 양수가 되기 때문에, 5도 -5도 제곱하면 25가 돼요. √ 기호는 예의 바르게 양수 답을 건네주지만, 수줍은 쌍둥이는 바로 뒤에 숨어 있답니다.

그러니 제곱근은 제곱을 거꾸로 한 것일 뿐이에요. 자기 자신과 곱해진 수를 위한 되돌리기 버튼이지요. 다음에 어떤 수가 으스대며 부풀어 오르면, 여러분은 그 비밀을 알 거예요. 아무리 큰 정사각형이라도 사실은 한 변을 재어 주기를 조용히 기다리는, 가지런한 타일밭일 뿐이라는 것을요.