인도 위에 울퉁불퉁한 물웅덩이가 얼마나 넓은지 알고 싶다고 해 봐요. 정사각형은 쉬워요. 길이에 너비를 곱하면 끝이죠. 하지만 물웅덩이에는 곡선도 있고, 불룩한 곳도 있고, 살짝 흘러나온 꼬리도 있어요. "물웅덩이"를 위한 깔끔한 공식은 없죠. 그럼 어떻게 할까요? 지금까지 발명된 방법 중 가장 영리한 속임수를 쓰는 거예요. 물웅덩이를 아주아주 작은 조각들로 잘라서, 거의 곧은 것처럼 만드는 거죠.

비결은 이거예요. 물웅덩이 위에 마룻장처럼 가느다란 직사각형 격자를 놓아 보세요. 직사각형 하나하나는 단순해요. 너비와 높이가 있으니까 넓이를 구하기 쉽죠. 물론 직사각형들이 곡선에 딱 맞지는 않아요. 어떤 곳에서는 조금 삐져나오고, 어떤 곳에서는 조금 모자라요. 하지만 그 넓이들을 모두 더하면, 물웅덩이 전체 넓이에 대한 대략적인 짐작을 얻을 수 있어요.

대략적인 짐작도 좋지만, 우리는 더 정확한 답을 원해요. 그러니 직사각형을 더 가늘게 만들어 봐요. 이제 직사각형이 더 많아지고, 하나하나가 곡선에 조금 더 꼭 맞게 달라붙어요. 삐져나온 부분과 모자란 부분이 더 작아지죠. 직사각형이 가늘수록, 오차는 줄어들어요. 짐작이 더 또렷해져요.

계속해 봐요. 직사각형을 더 얇게 만들어요. 더 얇게요. 두께가 거의 0에 가까워질 때까지, 엄청나게 많은 직사각형을 나란히 빽빽하게 세우는 거예요. 오차는 거의 아무것도 아닌 쪽으로 줄어들어요. 직사각형 꼭대기들이 만든 계단 모양은 물웅덩이 자체의 매끈한 곡선으로 녹아들어요.

상상 속의 그 결승선, 곧 무한히 많은 무한히 얇은 조각들을 모두 더한 것이 바로 적분이에요. 적분은 그저 큰 합계예요. 아주 작은 조각들의 합이죠. 적분의 핵심은 이거예요. "작게 자르고, 전부 더하고, 답이 흔들림을 멈추고 가만히 자리 잡을 때까지 점점 더 작게 자른다."

사람들은 그 그림을 기호 속에도 남겨 두었어요. 적분 기호 ∫는 길게 늘인 글자 S예요. S는 "sum", _즉 "합"_을 뜻하죠. 말 그대로 "이 작은 조각들을 모두 더하라"고 쓰는 길고 우아한 방법이에요. 수학자들은 그런 면에서 정이 많답니다.

그리고 이 방법은 물웅덩이보다 훨씬 더 많은 곳에 쓰여요. 언덕을 아주 작은 기둥들로 잘라 부피를 구할 수 있어요. 여행을 아주 작은 속도의 순간들로 잘라 전체 거리를 구할 수 있어요. 하루를 _아주 작은 빗방울 한 모금들_로 잘라 얼마나 비가 내렸는지 구할 수 있어요. 무엇이든 셀 수 없이 작은 보탬들이 모여 만들어진 것이라면, 적분은 그것들을 하나의 합계로 모아 줍니다.

그러니 적분은 무서운 것이 아니에요. 참을성 있는 것이죠. 굽어 있고 복잡한 무언가를 백만 개의 솔직한 작은 조각으로 기꺼이 잘라 낸 뒤, 마지막 하나까지 더해서 정복하는 기술이에요. 크고, 매끈하고, 불가능해 보이는 모양도 아주 단순한 약속 앞에서는 모습을 드러내요. 충분히 작은 조각들을 조심스럽게 더하면, 언제나 진실을 알려 준다는 약속 말이에요.