직각삼각형을 떠올려 보세요. 이 페이지의 모서리처럼 완벽하게 네모난 모서리가 하나 있는 삼각형이에요. 변은 세 개지요. 이 세 변에 관한 오래되고 유명한 규칙이 있는데, 그 규칙은 수천 년 동안 조용히 참이었답니다. 사람들은 그것을 피타고라스 정리라고 불러요. 그리고 왜 그런지 한번 알게 되면, 다시 모를 수 없게 돼요.

변들에 이름을 붙여 볼게요. 네모난 모서리에서 만나는 두 짧은 변은 직각변이에요. 그 모서리의 맞은편에 있는 길고 비스듬한 변, 가장 긴 변은 빗변이에요. 빗변은 그냥 “비스듬한 긴 변”을 부르는 조금 멋진 말이지요. 우리가 알아야 할 낱말은 이게 전부예요.

이 정리는 기분 좋을 만큼 단순한 말을 해요. 각 직각변 위에 정사각형을 하나씩 만들고, 빗변 위에도 정사각형을 하나 만들어요. 그러면 두 작은 정사각형을 더한 것이 큰 정사각형과 정확히 같아져요. 사람들은 이것을 a² + b² = c²라고 써요. 하지만 잠깐 글자는 잊어 보세요. 이것은 사실 타일로 만든 세 정사각형의 이야기랍니다.

“같다고요? 정말요?” 하고 물을지도 몰라요. 네, 같아요. 넓이가 같다는 뜻이고, 안에 들어 있는 작은 타일의 수가 같다는 뜻이에요. 두 작은 정사각형에서 타일을 모두 떼어 낼 수 있다면, 가장 큰 정사각형을 채우기에 딱 충분할 거예요. 타일 하나가 모자라지도 않고, 하나가 남지도 않아요. 언제나 그렇답니다.

그런데 왜 항상 참일까요? 여기 마술 같은 방법이 있어요. 여러분의 삼각형 네 개와 커다란 정사각형 틀 하나를 가져오세요. 그 네 삼각형을 그 틀 안에 두 가지 다른 방법으로 놓을 수 있어요. 틀의 크기는 두 번 모두 정확히 같아요. 같은 큰 정사각형, 같은 전체 공간이지요.

첫 번째 배열에서는 네 삼각형이 모서리들에 옹기종기 모여 있어요. 삼각형들이 남겨 둔 빈 공간은 정사각형 하나예요. 바로 빗변 위의 정사각형, c² 정사각형이지요. 가운데에 기울어진 정사각형 하나가 있고, 그 둘레를 네 삼각형 친구들이 둘러싸고 있다고 상상해 보세요.

이제 같은 네 삼각형을 이리저리 밀어 보세요. 같은 틀, 같은 삼각형이에요. 이번에는 빈 정사각형이 두 개 남아요. 하나는 짧은 직각변만 한 크기이고, 하나는 긴 직각변만 한 크기예요. 그것이 나란히 있는 a²와 b²랍니다. 우리는 아무것도 더하거나 빼지 않았어요. 그저 자리를 바꾸었을 뿐이에요.

그리고 바로 여기에 비밀이 있어요. 두 배열은 모두 똑같은 틀 안에 있고, 똑같은 네 삼각형을 가지고 있어요. 그러니 남은 공간은 무엇이든 서로 같아야 해요. 첫 번째에는 남은 것이 c²였어요. 두 번째에는 a² 더하기 b²였지요. 같은 남은 공간이니까 a² + b² = c²예요. 삼각형에게는 다른 선택이 없었어요. 처음부터 내내 참이었던 거예요.

그러니 피타고라스 정리는 주문도 아니고 의견도 아니에요. 그저 도형들이 자기 자신에 대해 진실을 말하는 거예요. 세상의 모든 직각삼각형은 축구장에서도, 지붕에서도, 벽에 기대어 선 사다리에서도 이 작은 약속을 조용히 품고 있어요. 두 직각변의 정사각형을 더하면 언제나 비스듬한 변의 정사각형이 된다는 약속 말이에요.